一线三等角：初二就能用的一条全等捷径

几何题里有一类图形长得很有规律：一条直线上站着三个点，直线同侧又有两个点，与这条直线连出三个相等的角。看到这个组合，两个三角形必然全等——用八年级上册的 AAS 就能证，一次辅助线都不用加。

这条规律习惯上叫"一线三等角"。下面把它拆成：长什么样、为什么成立、能直接得到什么、三道例题。

一、模型长什么样

一条直线 l 上依次有三点 D、C、E，直线同侧有两点 A、B。如果同时满足两个条件：三个角相等（∠ADC = ∠ACB = ∠CEB = α）、两条斜边相等（AC = CB），那么 △ADC ≌ △CEB。

注意 AC = CB 这一条不能少。它俩正是两个三角形的对应斜边，缺了它，全等不成立。

二、为什么一定全等：一次 180° 减法

因为 D、C、E 三点共线，所以

∠ACD + ∠ACB + ∠BCE = 180°

而在 △ADC 里，内角和也是 180°：

∠ACD + ∠ADC + ∠CAD = 180°

两式相减，再注意到 ∠ACB = ∠ADC，立刻得到

∠CAD = ∠BCE

现在凑齐了三个条件：∠ADC = ∠CEB（已知）、∠CAD = ∠BCE（刚推出）、AC = CB（已知）。两组角加一条边，AAS，全等。

这一步是整个模型的心脏。它同时说明了为什么三个角必须"站在同一条直线上"——离开这条直线，那个 180° 的减法就不存在，剩下两个角也就无从相等。

三、全等之后，直接得到三个等式

对应关系要看清：A 对 C，D 对 E，C 对 B。于是有三条等式：AD = CE，DC = BE，以及

DE = DC + CE = BE + AD

第三条最好用：一条直线上的长线段，等于两个"竖起来"的短线段之和。题目里凡是让求 DE、求某条线段和，多半就是它。

四、三种面孔

三个相等的角是直角、钝角、锐角，都行——AAS 不在乎角有多大。所以模型有三种常见长相：

直角版（一线三垂直）是 ∠ADC = ∠ACB = ∠CEB = 90°，最常考，也最容易认。

钝角版是三个 120° 之类的角，图形看着"趴"下去，容易漏看。

锐角版是三个 60° 之类的角，两个三角形几乎贴在一起。

认图的口诀：找一条直线，看上头有没有三个相等的角，再看两边那两条斜边是否相等。

五、三道例题

例 1　最经典的直角版

如图，等腰直角 △ABC 中 ∠ACB = 90°，AC = BC。过点 C 的直线 l 与 AB 不相交，AD ⊥ l 于 D，BE ⊥ l 于 E。已知 AD = 2，BE = 1，求 DE 的长。

解　∠ADC = ∠CEB = 90°，∠ACB = 90°，三个角相等，模型成立。

由 180° 减法得 ∠CAD = ∠BCE，又 AC = CB，所以 △ADC ≌ △CEB（AAS）。

于是 DC = BE = 1，CE = AD = 2，故

DE = DC + CE = 1 + 2 = 3

这道题的坑在"看错对应边"。AD 对面是 CE，不是 DC——记住 A 对 C、D 对 E 就不会错。

例 2　藏在正方形里

正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，且 BE = 1。作 EF ⊥ AE，且 EF = AE，连结 CF。求 CF 的长。

解　过 F 作 FH ⊥ BC 的延长线于 H（图中虚线）。

∠ABE = ∠FHE = 90°；又 ∠AEF = 90°，所以 ∠AEB + ∠FEH = 90°，而 ∠AEB + ∠BAE = 90°，两式相减得 ∠BAE = ∠FEH。

加上 AE = EF，得 △ABE ≌ △EHF（AAS），所以

EH = AB = 4，FH = BE = 1

而 EC = BC − BE = 3，故 CH = EH − EC = 4 − 3 = 1。

于是 FH = CH = 1，且 ∠FHC = 90°，△FHC 是等腰直角三角形，

CF = √2 · CH = √2

这类题的信号是"直角 + 相等"两个字同时出现。看到 AE ⊥ EF 且 AE = EF，就该想到把直角塞进一条直线，补出第三个直角。

例 3　坐标系里求点

平面直角坐标系中，A(0, 3)，C(1, 0)，△ABC 是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形（CA = CB），点 B 在第一象限。求 B 的坐标。

解　过 B 作 BD ⊥ x 轴于 D（图中虚线）。

x 轴上 O、C、D 三点共线，∠ACB = 90°，所以 ∠ACO + ∠BCD = 90°；而 Rt△CDB 中 ∠BCD + ∠CBD = 90°，两式相减得 ∠ACO = ∠CBD。

又 ∠AOC = ∠CDB = 90°，AC = CB，所以 △AOC ≌ △CDB（AAS）。

于是 OC = BD = 1，AO = CD = 3，即 OD = OC + CD = 1 + 3 = 4。

所以 B(4, 1)

求坐标的题，只要出现"等腰直角三角形"和坐标轴，基本就是让坐标轴充当那条直线，把 x 轴上的线段和垂直线段互换。这一步换完，坐标自然就出来了。

六、三条易错提醒

1. 三个角必须共线。 只有 D、C、E 在同一条直线上，才能用 180° 减法推出 ∠CAD = ∠BCE。不共线就没有这个结论。
2. 别把结论当条件。 AD = CE、DC = BE 是全等之后的结果。用之前先老老实实证一次全等（或者题目直接给了 AC = CB）。
3. 对应顶点别弄反。 △ADC ≌ △CEB 中，A↔C、D↔E、C↔B。写错对应关系，后面的线段就全换错了。

七、一句话收尾

一线三等角，本质是用一条直线上的 180°，把两个角"搬"成相等，然后交给 AAS。

判断顺序固定三步：找直线 → 数三个相等的角 → 看两条斜边是否相等。三步都对上，全等白送，线段互换。

（这套模型到初三学完相似三角形后还会再长一次——那时 AC = CB 这个条件可以去掉，结论从"全等"变成"相似"，比例式接替等式。现在先把全等这条练熟，到时候只是换个说法。）