胡不归模型全解：7 种变形 + 一图判别 📐

结论先行：胡不归模型 = 求 PA + k·PB（0 < k < 1）的最小值。题目怎么包装都不重要，动作只有一个：用 sinα = k 把 k·PB 换成一条垂线段 PQ，再把折线 A→P→Q 拉直，最小值就等于点 A 到那条构造直线的距离。开头那道题 √(x²+9) + (3√3−x)/2 的最小值 = 3√3，在 x = √3 处取到。

一、线索题：四步走完 🎯

题目：求 f(x) = √(x²+9) + (3√3−x)/2 的最小值（x ≥ 0）。

造点：√(x²+9) = √(x²+3²)，看成动点 P(x,0) 到定点 A(0,3) 的距离；剩下的 (3√3−x)/2 = ½·PB，其中 B(3√3,0)，而 3√3−x 正是 PB 的长度。
把系数变成 sin：½ = sin30°。过 B 作与 x 轴成 30° 的直线 m，P 到 m 的垂足记 Q，则 PQ = PB·sin30° = ½PB。
拉直：原式 = PA + PQ ≥ AQ ≥ A 到直线 m 的距离。等号成立当且仅当 A、P、Q 三点共线。
算距离：m 的方程为 x − √3y − 3√3 = 0，把 A(0,3) 代入左边得 −6√3，取绝对值再除以 √(1+3)：6√3 ÷ 2 = 3√3。

验算：x* = a·tanα = 3·tan30° = √3，代入 f(√3) = √12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3 ✅

二、通用公式（可以直接套）📏

CODE

f(x) = √(x² + a²) + k(b − x)，0 < k < 1，x ∈ [0, b]

令 sinα = k（α 就是"构造角"）
最优位置 x* = a·tanα
最小值     = a·cosα + b·sinα = a√(1 − k²) + b·k
注意       x* 若落到 [0, b] 之外，最小值改在端点取得

系数只出现 ½、√2/2、√3/2 时，对应的构造角分别是 30°、45°、60°——这三个是最常见的马甲。

三、七种变形（下图每一格就是一道新题）

1. 45° 型：√(x²+1) + (√2/2)(3−x)。√2/2 = sin45°，构造等腰直角三角形，x* = 1，min = 2√2。

2. 60° 型：√(x²+3) + (√3/2)(6−x)。√3/2 = sin60°，构造含 30° 角的直角三角形，x* = a·tan60° = 3，min = 7√3/2。

3. 系数大于 1 型：2√(x²+9) + (3√3 − x)。因为 sinα ≤ 1，系数大于 1 时不能直接构造，先提公因数：原式 = 2·[√(x²+9) + ½(3√3−x)]，括号里就是第 1 题，所以 min = 2 × 3√3 = 6√3。同理 √(3x²+12) = √3·√(x²+4)、√(4x²+9) = 2√(x²+9/4)，都要先把根号外的系数提出来做归一化。

4. k = 1 型（将军饮马）：求 PA + PB 时 sin 派不上用场，改用轴对称。A(0,2)、B(4,1)、P 在 x 轴上：把 B 关于 x 轴镜像成 B′(4,−1)，则 PA + PB = PA + PB′ ≥ AB′ = √(4²+3²) = 5，取等时 A、P、B′ 三点共线。

5. 圆上动点型（阿氏圆）：P 不在直线上而在圆上时，三角函数换不进来，改用相似三角形。⊙O 半径 r = 2，A(−1,4)，B(4,0)，求 PA + ½PB 的最小值：在 OB 上取点 C 使 OC = r²/OB = 1，则 OC/OP = OP/OB = ½，且 ∠COP = ∠POB，得 △OPC ∽ △OBP，于是 PC = ½PB。所以 PA + ½PB = PA + PC ≥ AC = √(2²+4²) = 2√5。

6. 三点型（费马点）：PA + PB + PC 的最小值不用 sin，用绕顶点旋转 60°。等边△ABC 边长 4：把 △APB 绕 A 顺时针转 60°，B→B′、P→P′，△APP′ 是等边三角形，于是 PA = PP′、PB = P′B′，三段折线 PP′ + P′B′ + PC 被拉成一条直线，min = CB′ = 4√3。思想和胡不归一脉相承：把散着的线段搬成一条线。

四、一表判别：先看 P 的轨迹，再看系数 🧭

CODE

  P 的轨迹   目标式              核心手法               取等条件
  ------------------------------------------------------------------
  直线       PA + PB             轴对称（镜像）         三点共线
  直线       PA + k·PB (0<k<1)   sinα = k → 化垂线段    A、P、Q 共线
  圆         PA + k·PB (0<k<1)   相似三角形（阿氏圆）   三点共线
  平面       PA + PB + PC        绕顶点旋转 60°         四点共线

五、踩坑清单 ⚠️

系数先换 sin：½ → 30°，√2/2 → 45°，√3/2 → 60°；不要拿尺子去量线段。
构造角要在正确的一侧，并且垂足（等价于 x* = a·tanα）落在题目允许的范围内；落到了外面，最小值就取在端点。
根号内外的系数先归一化：√(3x²+12) = √3·√(x²+4)，√(4x²+9) = 2√(x²+9/4)。
系数大于 1 时先提公因数，算完再把系数乘回去。
求的是最小"长度"，不是最小"坐标"：出结果后一定代回原式验算一遍。
判别只看两件事：P 的轨迹 + 系数的形式。P 在直线上 → 胡不归（sin）；P 在圆上 → 阿氏圆（相似）；系数 k = 1 → 将军饮马（镜像）；三点求和 → 费马点（旋转）。

一句话收尾：胡不归的"魂"就是——用 sinα = k 把系数变成一条垂线段，再把折线拉直。记住这一句，30°/45°/60°、提系数、阿氏圆、费马点，全都是它的马甲。💡